Vrije val: formules, valtijd en luchtweerstand

De vrije val is de eenvoudigste eenparig versnelde beweging die er is, en daarom een vast onderdeel van elk examen mechanica. Je hebt maar één getal nodig (g) en drie formules. Het lastige zit in de details: wanneer mag je de luchtweerstand verwaarlozen, wat gebeurt er als je iets omhoog gooit, en waarom valt een zware steen niet sneller dan een lichte?

De valversnelling g

Op het aardoppervlak is de valversnelling g = 9,81 m/s². Een vallend voorwerp wordt dus na 1 s 9,81 m/s snel, na 2 s 19,6 m/s, na 3 s 29,4 m/s, zolang de lucht geen rol speelt. Dezelfde g is ook de zwaartekracht per kilogram: 9,81 N/kg. Dat is geen toeval. Volgens de tweede wet van Newton is de versnelling a = F / m. De zwaartekracht is F_z = m · g, dus a = m · g / m = g. De massa valt weg: een zwaarder voorwerp wordt harder getrokken, maar is ook precies zoveel moeilijker in beweging te krijgen.

De waarde van g is niet overal gelijk. Aan de evenaar is hij ongeveer 9,78 m/s², aan de polen 9,83 m/s², doordat de aarde afgeplat is en draait. In Nederland en België reken je met 9,81 m/s². Op andere hemellichamen is g heel anders, omdat die afhangt van de massa en de straal van het hemellichaam (zie zwaartekracht en de gravitatiewet).

Meer over de andere hemellichamen lees je bij de planeten van het zonnestelsel.

De formules voor de vrije val

Laat je een voorwerp los vanuit stilstand (beginsnelheid 0) en verwaarloos je de luchtweerstand, dan gelden:

De derde formule volgt uit de eerste twee door t weg te werken. Je kunt hem ook met energie afleiden: de zwaarte-energie m · g · h wordt omgezet in bewegingsenergie ½ · m · v². Daaruit volgt v² = 2 · g · h; ook hier valt de massa weg. Wil je de valtijd weten bij een gegeven hoogte, dan schrijf je de tweede formule om: t = √(2 · h / g).

In een (v,t)-diagram is de vrije val een rechte lijn door de oorsprong met helling g. In een (h,t)-diagram is het een parabool: de afstand groeit met het kwadraat van de tijd. Na 2 s ben je dus niet twee, maar vier keer zo ver gevallen als na 1 s.

Valtijdtabel: hoe lang duurt een val?

Met t = √(2h / g) en v = g · t krijg je onderstaande tabel. De waarden gelden zonder luchtweerstand; voor compacte, zware voorwerpen kloppen ze bij kleine hoogtes vrij goed.

Valt het op dat de valtijd veel minder hard stijgt dan de hoogte? Voor vier keer zo hoog heb je maar twee keer zo veel tijd nodig, omdat t evenredig is met √h. Galilei ontdekte hetzelfde patroon andersom: in opeenvolgende gelijke tijdsintervallen leg je afstanden af in de verhouding 1 : 3 : 5 : 7 … (de oneven getallen). In de eerste seconde val je 4,9 m, in de tweede 14,7 m, in de derde 24,5 m.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1 — de duikplank. Een schoonspringer laat zich vallen van de 10-meterplank. Hoe lang duurt de val en met welke snelheid raakt hij het water?
t = √(2 · h / g) = √(2 × 10 / 9,81) = √2,04 = 1,43 s.
v = g · t = 9,81 × 1,43 = 14,0 m/s, ofwel 14,0 × 3,6 = 50 km/h. Ter controle: v = √(2 × 9,81 × 10) = √196 = 14,0 m/s.

Voorbeeld 2 — hoe diep is de put? Je laat een steen in een put vallen en hoort na 2,0 s de plons. Verwaarloos eerst de looptijd van het geluid: h = ½ · g · t² = ½ × 9,81 × 2,0² = 19,6 m. Controle: het geluid (343 m/s) doet over de terugweg 19,6 / 343 ≈ 0,06 s. De echte valtijd is dus ongeveer 1,94 s en de put ongeveer 18,5 m diep. Een kleine maar bij examens soms gevraagde correctie.

Voorbeeld 3 — een bal recht omhoog. Gooi je een bal met 15 m/s recht omhoog, dan werkt na het loslaten ook alleen de zwaartekracht: dat is óók een vrije val. De snelheid neemt elke seconde 9,81 m/s af. Tijd tot het hoogste punt: t = v₀ / g = 15 / 9,81 = 1,53 s. Maximale hoogte: h = v₀² / (2g) = 225 / 19,62 = 11,5 m. De terugweg duurt even lang, dus na 3,06 s is de bal terug op de hoogte van je hand, weer met 15 m/s maar nu omlaag. In het hoogste punt is de snelheid 0, maar de versnelling nog steeds 9,81 m/s² omlaag.

Wil je oefenen met het opstellen van zulke berekeningen in stappen, kijk dan bij snelheid en versnelling, waar ook de algemene formule s = v₀ · t + ½ · a · t² staat.

Galilei en het einde van Aristoteles

Bijna tweeduizend jaar lang gold de leer van Aristoteles: zware voorwerpen vallen sneller dan lichte, evenredig met hun gewicht. Dat lijkt te kloppen als je een steen en een veer laat vallen. Galileo Galilei liet rond 1600 zien dat het verschil door de lucht komt, niet door de massa.

Zijn sterkste argument was een gedachte-experiment. Bind een zware en een lichte steen aan elkaar. Volgens Aristoteles remt de langzame lichte steen de zware af, dus valt het geheel langzamer dan de zware steen alleen. Maar het geheel is zwaarder dan de zware steen, dus moet het volgens dezelfde regel juist sneller vallen. Die tegenspraak verdwijnt alleen als alle voorwerpen even snel vallen.

Het beroemde verhaal over bollen die van de scheve toren van Pisa vielen, is waarschijnlijk niet zo gebeurd. Galilei mat wel nauwkeurig aan kogels die van een hellend vlak rolden: daarmee vertraagde hij de val zo dat hij hem met waterklokken kon timen, en vond hij dat de afstand evenredig is met t². Later verklaarde Isaac Newton dit met zijn bewegingswetten. Het mooiste bewijs kwam in 1971: astronaut David Scott liet op de maan, waar geen lucht is, een hamer en een valkenveer tegelijk los. Ze raakten tegelijk het maanstof.

Luchtweerstand en eindsnelheid

In lucht werkt naast de zwaartekracht een tegenwerkende kracht, de luchtweerstand. Die groeit ongeveer met het kwadraat van de snelheid:

Bij het loslaten is v = 0 en is er nog geen luchtweerstand: de beginversnelling is gewoon g. Naarmate de snelheid stijgt, neemt de weerstand toe, wordt de nettokracht kleiner en de versnelling ook. Uiteindelijk is de luchtweerstand even groot als de zwaartekracht. De nettokracht is dan nul, dus volgens de eerste wet van Newton blijft de snelheid constant: de eindsnelheid. Uit m · g = ½ · ρ · c_w · A · v² volgt:

Voorbeeld 4 — parachutist. Een skydiver van 80 kg in buikligging heeft c_w · A ≈ 0,42 m². Dan is v_eind = √(2 × 80 × 9,81 / (1,2 × 0,42)) = √3114 ≈ 56 m/s, ruim 200 km/h. Die bereikt hij na ongeveer 12 seconden. Gaat de parachute open, dan wordt c_w · A tientallen keren groter en daalt de eindsnelheid naar ongeveer 5 m/s: een landing alsof je van ruim een meter hoogte springt.

Uit de formule zie je waarom zware, compacte voorwerpen in lucht wél sneller vallen: m staat in de teller. Een loden kogel en een pingpongbal van dezelfde grootte hebben hetzelfde c_w · A, maar de kogel is honderden keren zwaarder en dus een veelvoud sneller als eindsnelheid. Bij korte vallen merk je dat nauwelijks, omdat beide nog ver van hun eindsnelheid zijn. Hoe hoger in de atmosfeer, hoe ijler de lucht en hoe hoger de eindsnelheid: Felix Baumgartner haalde in 2012 na een sprong van 39 km hoogte meer dan de geluidssnelheid.

Gewichtloosheid: vallen zonder grond

Wie vrij valt, voelt zich gewichtloos. Je weegschaal, je stoel en je eigen lichaam vallen allemaal met dezelfde versnelling, dus niets drukt nog tegen jou aan. Dat gevoel ken je kort uit een achtbaan of een vrijevaltoren. De astronauten in het ISS zweven niet omdat er daar geen zwaartekracht is (op 400 km hoogte is g nog ongeveer 8,7 m/s²), maar omdat het station en alles erin voortdurend vallen. Het station heeft zo’n grote zijwaartse snelheid (ongeveer 7,7 km/s) dat het aardoppervlak telkens onder het vallende station wegbuigt. Een baan om de aarde is dus één eindeloze vrije val.

Veelgestelde vragen

Verder lezen