Snelheid en versnelling — formules en diagrammen

Snelheid: s = v · t

Bij een eenparige beweging blijft de snelheid constant: elke seconde leg je even veel meter af. Dan geldt de eenvoudigste formule uit de mechanica.

In het echt is een beweging zelden eenparig. Daarom onderscheid je twee soorten snelheid:

• Gemiddelde snelheid — de totale afstand gedeeld door de totale tijd: v_gem = s_totaal / t_totaal. Stilstaan voor een stoplicht telt gewoon mee in de tijd.
• Momentane snelheid — de snelheid op één bepaald moment, zoals je snelheidsmeter die aangeeft. Wiskundig is dat de snelheid over een heel klein tijdsinterval.

Rekenvoorbeeld — fietstocht. Je fietst 6,0 km naar school en doet daar 20 minuten over, inclusief twee minuten wachten bij een stoplicht. De gemiddelde snelheid is v_gem = 6000 m / 1200 s = 5,0 m/s (18 km/h). Je fietscomputer heeft onderweg ondertussen alles tussen 0 en 25 km/h aangegeven: de momentane snelheid schommelt, het gemiddelde niet.

Snelheid is strikt genomen een vector: ze heeft een grootte én een richting. Een auto die met 50 km/h een rotonde rondrijdt, heeft een constante grootte van de snelheid maar een steeds veranderende richting — en is dus wél aan het versnellen. Hieronder gaat het alleen over rechtlijnige bewegingen, waar alleen de grootte verandert. Voor de basisbetekenis van het begrip, zie ook snelheid in de begrippenlijst.

Van km/h naar m/s (en terug)

In de natuurkunde reken je met m/s, in het verkeer met km/h. De omrekenfactor volgt direct uit de eenheden: 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1/3,6 m/s. Dus:

• km/h → m/s: delen door 3,6
• m/s → km/h: vermenigvuldigen met 3,6

Een handig ijkpunt: 36 km/h is precies 10 m/s. Zo controleer je snel of een uitkomst klopt.

Versnelling: a = Δv / Δt

Zodra de snelheid verandert, is er sprake van versnelling. Die geeft aan hoeveel de snelheid per seconde toe- of afneemt.

Een versnelling van 2 m/s² betekent: de snelheid neemt elke seconde met 2 m/s toe. Neemt de snelheid af, dan is Δv negatief en krijg je een negatieve versnelling — in de spreektaal vertraging. Wat de oorzaak van een versnelling is (een netto kracht, F = m · a), beschrijven de wetten van Newton; hier gaat het alleen over het beschrijven van de beweging zelf, de kinematica.

Rekenvoorbeeld — optrekken. Een auto gaat in 8,0 s van stilstand naar 100 km/h. Eerst omrekenen: 100 / 3,6 = 27,8 m/s. Dan a = 27,8 / 8,0 = 3,5 m/s². Ter vergelijking: bij de vrije val is de versnelling 9,81 m/s², bijna drie keer zo groot.

Eenparig versnelde beweging

Bij een eenparig versnelde beweging is de versnelling constant. Start het voorwerp vanuit stilstand, dan gelden:

Het kwadraat in s = ½at² betekent dat de afstand niet evenredig met de tijd groeit: in twee keer zoveel tijd leg je vier keer zoveel afstand af. De auto uit het vorige voorbeeld legt tijdens het optrekken s = ½ × 3,47 × 8,0² = 111 m af.

Een tweede, vaak snellere route loopt via de gemiddelde snelheid. Bij constante versnelling ligt die precies midden tussen begin- en eindsnelheid:

Controle: v_gem = (0 + 27,8) / 2 = 13,9 m/s, en 13,9 × 8,0 = 111 m. Dezelfde uitkomst.

Rekenvoorbeeld — inhalen. Heeft het voorwerp al een beginsnelheid, dan gebruik je v_eind = v_begin + a · t en s = v_begin · t + ½ · a · t². Een auto versnelt tijdens het inhalen in 6,0 s van 80 naar 120 km/h (22,2 naar 33,3 m/s). Versnelling: a = 11,1 / 6,0 = 1,85 m/s². Afstand: v_gem = (22,2 + 33,3) / 2 = 27,8 m/s, dus s = 27,8 × 6,0 = 167 m. Via de lange formule: 22,2 × 6,0 + ½ × 1,85 × 36 = 133 + 33 = 167 m. Een inhaalmanoeuvre kost dus al gauw ruim anderhalve voetbalveldlengte.

Het (x,t)-diagram: plaats tegen tijd

In een (x,t)-diagram — soms (s,t)-diagram genoemd — staat de tijd horizontaal en de plaats verticaal. De vorm van de grafiek vertelt direct wat voor beweging het is:

• Horizontale lijn — de plaats verandert niet: stilstand.
• Schuine rechte lijn — eenparige beweging. Hoe steiler, hoe sneller. De helling (Δx / Δt) ís de snelheid.
• Kromme die steeds steiler wordt — de snelheid neemt toe: een versnelde beweging (een parabool bij constante versnelling).
• Kromme die afvlakt — vertraagde beweging, bijvoorbeeld een remmende fiets.

Momentane snelheid aflezen. Bij een kromme grafiek teken je in het gevraagde punt een raaklijn: een rechte lijn die de grafiek daar net raakt. Kies twee ver uit elkaar liggende punten op die raaklijn (niet op de grafiek!) en bereken Δx / Δt. Hoe verder de punten uit elkaar liggen, hoe kleiner je afleesfout.

Gemiddelde snelheid aflezen. Trek een rechte lijn tussen begin- en eindpunt van het interval. De helling van die lijn (de koorde) is de gemiddelde snelheid over dat interval.

Het (v,t)-diagram: snelheid tegen tijd

In een (v,t)-diagram staat de snelheid verticaal. Hier gelden twee andere afleesregels, en die zijn de kern van veel examenopgaven:

Waarom is de oppervlakte de afstand? Bij een constante snelheid is het gebied onder de grafiek een rechthoek met hoogte v en breedte t — en v · t = s. Bij een schuine lijn wordt het een driehoek of trapezium, maar het principe blijft: elk smal reepje heeft oppervlakte v · Δt, de afstand in dat korte stukje tijd. Bij een kromme grafiek tel je hokjes of verdeel je het gebied in rechthoeken en driehoeken.

Een horizontale lijn in een (v,t)-diagram betekent dus niet stilstand, maar een constante snelheid. Stilstand is een horizontale lijn op v = 0.

Uitgewerkt: de stopafstand van een auto

Een automobilist rijdt 50 km/h en ziet een kind de straat op rennen. De stopafstand bestaat uit twee delen:

• Reactieafstand — de afstand die je nog met volle snelheid aflegt voordat je voet op de rem staat. Met een reactietijd van 1,0 s: s = v · t = 13,9 × 1,0 = 13,9 m.
• Remweg — de afstand tijdens het remmen. Met een remvertraging van 7,0 m/s² (droog asfalt, goede banden) duurt het remmen t = 13,9 / 7,0 = 1,98 s. De gemiddelde snelheid tijdens het remmen is 13,9 / 2 = 6,9 m/s, dus de remweg is 6,9 × 1,98 = 13,8 m.

De totale stopafstand is 13,9 + 13,8 ≈ 27,7 m. In het (v,t)-diagram hieronder is dat precies de totale oppervlakte: een rechthoek (reactie) plus een driehoek (remmen).

Wat gebeurt er bij 100 km/h? Dan is v = 27,8 m/s. De reactieafstand verdubbelt naar 27,8 m. Het remmen duurt 27,8 / 7,0 = 3,97 s, en de remweg wordt ½ × 3,97 × 27,8 = 55,1 m — vier keer zo lang. Totaal: 82,9 m, dus bijna drie keer de stopafstand bij 50 km/h. De remweg groeit kwadratisch met de snelheid; algemeen geldt s_rem = v² / (2a). Dat is ook de reden dat de kinetische energie (½mv²) die de remmen moeten omzetten in warmte, kwadratisch toeneemt.

Op nat wegdek daalt de remvertraging tot ongeveer 4 à 5 m/s², en na alcohol of met een telefoon in de hand kan de reactietijd oplopen tot 1,5 à 2 s. Beide factoren kun je direct in dit rekenmodel invullen.

Veelgestelde vragen

Verder lezen