Botsingen en impuls

Wat is impuls?

Impuls (in België vaak ook hoeveelheid van beweging genoemd) is een maat voor hoe moeilijk het is om een bewegend voorwerp tot stilstand te brengen. Een vrachtwagen die stapvoets rijdt en een kogel die met honderden meters per seconde vliegt, kunnen een vergelijkbare impuls hebben: de een heeft een grote massa, de ander een grote snelheid.

Impuls is een vector: hij wijst dezelfde kant op als de snelheid. Bij botsingen op een rechte lijn kies je daarom eerst een positieve richting, bijvoorbeeld naar rechts. Alles wat naar links beweegt krijgt dan een negatieve snelheid en een negatieve impuls. Dat ene minteken is de bron van de meeste rekenfouten.

Impuls en kinetische energie lijken op elkaar, maar zijn verschillend. Kinetische energie E_k = ½ · m · v² is een getal zonder richting en altijd positief; impuls heeft een richting. Ze hangen samen via E_k = p² / (2m).

De wet van behoud van impuls

Bij een botsing oefenen twee voorwerpen gedurende korte tijd een kracht op elkaar uit. Volgens de derde wet van Newton zijn die krachten even groot en tegengesteld, en ze werken precies even lang. Wat het ene voorwerp aan impuls wint, verliest het andere. Opgeteld verandert er niets:

De wet geldt voor een gesloten systeem: er werken geen uitwendige krachten, of ze zijn verwaarloosbaar tijdens de korte botsing. Wrijving met de weg speelt tijdens de paar honderdsten van een seconde van een aanrijding nauwelijks een rol, dus vlak voor en vlak na de klap mag je behoud van impuls toepassen. In twee of drie dimensies geldt de wet voor elke richting apart. Behoud van impuls is net als behoud van energie een van de fundamentele behoudswetten van de natuurkunde; hij geldt ook voor botsende atomen, kernen en fotonen.

Elastische en inelastische botsingen

Impuls blijft bij elke botsing behouden. Kinetische energie niet altijd: een deel kan worden omgezet in vervorming, warmte en geluid. Op basis daarvan onderscheid je drie soorten:

Christiaan Huygens was rond 1669 een van de eersten die de regels voor elastische botsingen correct opschreef, en ontdekte daarbij dat naast de impuls ook de grootheid m · v² behouden bleef.

Rekenvoorbeeld: volledig inelastische botsing

Bij een volledig inelastische botsing bewegen de voorwerpen na afloop samen verder met één gemeenschappelijke snelheid v’. Dan heb je maar één onbekende:

Voorbeeld 1 — kop-staartbotsing. Een auto van 1 200 kg rijdt met 15 m/s achterop een stilstaande auto van 800 kg. De auto’s haken in elkaar. Hoe snel schuiven ze samen door?

1. Impuls voor: 1 200 × 15 + 800 × 0 = 18 000 kg·m/s.
2. Impuls na: (1 200 + 800) · v’ = 2 000 · v’.
3. Gelijkstellen: v’ = 18 000 / 2 000 = 9,0 m/s.

Controle met energie: vóór is E_k = ½ × 1 200 × 15² = 135 kJ, na is E_k = ½ × 2 000 × 9,0² = 81 kJ. Er is 54 kJ (40 %) omgezet in het verfrommelen van plaatwerk, warmte en geluid. Impuls blijft dus behouden, energie in bewegingsvorm niet.

Rekenvoorbeeld: volledig elastische botsing

Bij een elastische botsing heb je twee onbekenden (v₁’ en v₂’) en twee vergelijkingen: behoud van impuls en behoud van kinetische energie. Staat voorwerp 2 vooraf stil, dan levert het oplossen van die twee vergelijkingen:

Voorbeeld 2. Een karretje van 0,20 kg rijdt met 3,0 m/s tegen een stilstaand karretje van 0,10 kg, met een verende buffer ertussen. Dan is v₁’ = (0,10 / 0,30) × 3,0 = 1,0 m/s en v₂’ = (0,40 / 0,30) × 3,0 = 4,0 m/s. Controle: impuls voor 0,60 kg·m/s, na 0,20 + 0,40 = 0,60 kg·m/s; energie voor 0,90 J, na 0,10 + 0,80 = 0,90 J.

Drie bijzondere gevallen volgen direct uit de formules:

• Gelijke massa’s (biljart, de klikkende kogels van de ‘wieg van Newton’): v₁’ = 0 en v₂’ = v₁. De stotende bal blijft liggen en de geraakte bal neemt alle snelheid over.
• Licht tegen zwaar (pingpongbal tegen een muur): de lichte bal kaatst terug met bijna dezelfde snelheid, de muur beweegt niet merkbaar.
• Zwaar tegen licht (bowlingbal tegen een pin): de zware bal rolt vrijwel ongestoord door en de lichte schiet weg met bijna twee keer zijn snelheid.

Terugslag en explosies

Behoud van impuls werkt ook ‘achteruit’: als een stilstaand systeem uit elkaar valt, is de totale impuls nul en blijft die nul. De delen vliegen dus in tegengestelde richtingen weg.

Voorbeeld 3 — terugslag van een geweer. Een geweer van 4,0 kg vuurt een kogel van 10 g af met 800 m/s. Voor het schot: p = 0. Erna: 0,010 × 800 + 4,0 · v_geweer = 0, dus v_geweer = −8,0 / 4,0 = −2,0 m/s. Het minteken betekent: naar achteren, tegen je schouder.

Voorbeeld 4 — schaatsers. Twee schaatsers van 60 kg en 40 kg staan stil op het ijs en duwen elkaar weg. De lichtste glijdt weg met 1,5 m/s. Dan geldt 40 × 1,5 + 60 · v = 0, dus v = −1,0 m/s: de zwaarste krijgt een kleinere snelheid de andere kant op.

Een raket werkt op hetzelfde principe: de motor stoot elke seconde tonnen gas met hoge snelheid naar achteren uit, en de raket krijgt evenveel impuls naar voren. Daarvoor is geen lucht nodig om tegen af te zetten; het werkt juist het best in vacuüm.

Stoot: kracht maal tijd

De tweede wet van Newton (F = m · a) kun je schrijven in termen van impuls. Omdat a = Δv / Δt, geldt F · Δt = m · Δv = Δp. Het product van kracht en tijd heet de stoot:

In een (F,t)-diagram is de stoot de oppervlakte onder de grafiek. Als de kracht niet constant is, reken je met de gemiddelde kracht.

Voorbeeld 5 — trap tegen een bal. Een voetbal van 0,43 kg gaat van stilstand naar 30 m/s; schoen en bal raken elkaar 0,010 s. De gemiddelde kracht is F = Δp / Δt = 0,43 × 30 / 0,010 ≈ 1,3 · 10³ N, ongeveer het gewicht van 130 kg. Doorzwaaien (‘door de bal heen trappen’) verlengt het contact en geeft de bal bij dezelfde kracht meer impuls.

Airbag, gordel en kreukelzone

Bij een ongeluk staat de impulsverandering vast: je gaat van rijsnelheid naar nul, of je wilt of niet. Het enige wat je kunt beïnvloeden, is hoe lang dat duurt. Omdat F = Δp / Δt, betekent tien keer langer remmen een tien keer kleinere kracht.

Voorbeeld 6 — airbag. Een bestuurder van 70 kg rijdt met 50 km/h (13,9 m/s) tegen een muur. Zijn impulsverandering is 70 × 13,9 ≈ 970 N·s. Klapt hij zonder gordel tegen het stuur en staat hij binnen ongeveer 0,01 s stil, dan is F ≈ 970 / 0,01 ≈ 10⁵ N. Vangen gordel en airbag hem op over ongeveer 0,1 s, dan is F ≈ 10⁴ N: tien keer minder.

De kreukelzone van de auto zelf doet hetzelfde voor de hele passagiersruimte. Stel dat de neus van de auto over 0,50 m indeukt. Bij gelijkmatige vertraging vanaf 13,9 m/s duurt dat t = 2s / v = 2 × 0,50 / 13,9 ≈ 0,072 s, met een gemiddelde vertraging van a = v / t ≈ 190 m/s², ongeveer 20 g (zie snelheid en versnelling). Een onvervormbare auto zou in een fractie daarvan stilstaan, met vele malen grotere krachten. Hetzelfde principe zit in een fietshelm, valmatten in de gymzaal, door je knieën zakken bij een sprong en een vangnet onder een trapezeartiest. Hoe de klap verdeeld wordt over je lichaam, is weer een kwestie van druk: een brede gordel spreidt de kracht.

Veelgestelde vragen

Verder lezen