Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg

Werner Heisenberg formuleerde het principe in 1927, toen hij 25 jaar oud was. Het wordt ook wel de onzekerheidsrelatie, de wet van Heisenberg of de onbepaaldheidsrelatie genoemd. Samen met de golf-deeltjedualiteit is het een van de pijlers van de kwantumfysica. Voor tennisballen en auto’s merk je er niets van; voor een elektron in een atoom bepaalt het juist alles.

De formule: Δx · Δp ≥ ħ/2

Omdat ħ/2 = h/(4π), staat de relatie in BINAS en veel schoolboeken als Δx · Δp ≥ h / 4π. Dat is precies hetzelfde.

Lees de formule zo: het product van de twee onzekerheden kan nooit kleiner worden dan een vaste ondergrens. Maak je Δx tien keer kleiner, dan wordt de kleinst mogelijke Δp tien keer groter. Δx = 0 (een exact bekende plaats) zou een oneindig grote onzekerheid in impuls betekenen. Omdat Δp = m · Δv, kun je de onzekerheid in snelheid uitrekenen met Δv ≥ ħ / (2 · m · Δx). Daarin zie je meteen waarom massa zo belangrijk is: hoe zwaarder het voorwerp, hoe kleiner Δv.

De relatie geldt alleen voor bepaalde paren grootheden die bij elkaar horen, zoals plaats en impuls in dezelfde richting. De plaats in de x-richting en de impuls in de y-richting kun je wél tegelijk scherp kennen.

Rekenvoorbeelden: elektron versus tennisbal

Voorbeeld 1 — elektron in een atoom. Een atoom is ongeveer 1 · 10⁻¹⁰ m groot (0,1 nm). Een elektron dat ‘ergens in het atoom’ zit, heeft dus Δx ≈ 1 · 10⁻¹⁰ m. De elektronmassa is 9,11 · 10⁻³¹ kg.

• Δp ≥ ħ / (2 · Δx) = 1,055 · 10⁻³⁴ / (2 × 1 · 10⁻¹⁰) = 5,3 · 10⁻²⁵ kg·m/s
• Δv = Δp / m = 5,3 · 10⁻²⁵ / 9,11 · 10⁻³¹ ≈ 5,8 · 10⁵ m/s, bijna 600 km per seconde

Die onzekerheid is van dezelfde orde als de snelheid van het elektron zelf (in waterstof ongeveer 2,2 · 10⁶ m/s). Je kunt dus niet zeggen ‘het elektron beweegt met precies die snelheid over precies die baan’. Daarom is het baanmodel van het atoommodel van Bohr vervangen door orbitalen: wolken van waarschijnlijkheid.

Voorbeeld 2 — tennisbal. Een tennisbal van 58 g ligt op tafel en je kent zijn plaats tot op 1 micrometer: Δx = 1 · 10⁻⁶ m.

• Δp ≥ 1,055 · 10⁻³⁴ / (2 × 1 · 10⁻⁶) = 5,3 · 10⁻²⁹ kg·m/s
• Δv = 5,3 · 10⁻²⁹ / 0,058 ≈ 9 · 10⁻²⁸ m/s

Met die snelheid zou de bal in de hele leeftijd van het heelal (ongeveer 4,4 · 10¹⁷ s) nog geen halve nanometer opschuiven, een paar atoomdiameters. Het verschil met het elektron is een factor 10²⁴ in snelheidsonzekerheid. Dit is waarom de klassieke mechanica van Newton voor alledaagse voorwerpen gewoon blijft kloppen.

Voorbeeld 3 — past een elektron in de kern? Een atoomkern is ongeveer 1 · 10⁻¹⁴ m groot. Een elektron dat daarin opgesloten zit, heeft Δp ≥ 1,055 · 10⁻³⁴ / (2 × 10⁻¹⁴) ≈ 5 · 10⁻²¹ kg·m/s. Dat komt overeen met een energie van ongeveer 10 MeV, veel meer dan een kern kan vasthouden. Dit argument laat zien dat elektronen niet in de kern kunnen wonen, en ook waarom een elektron niet ‘in de kern valt’: hoe kleiner de ruimte, hoe hoger de bewegingsenergie.

Waarom bestaat die onzekerheid? Het golfbeeld

Volgens De Broglie hoort bij elk deeltje met impuls p een golflengte λ = h / p. Een deeltje met een exacte impuls is dus een golf met precies één golflengte, en zo’n golf loopt eindeloos door: hij heeft geen plaats. Wil je een deeltje op één plek ‘vastleggen’, dan heb je een kort golfpakketje nodig. Zo’n pakketje kun je alleen maken door veel golven met verschillende golflengtes op te tellen, zodat ze elkaar buiten het pakketje uitdoven. Maar verschillende golflengtes betekent verschillende impulsen: de impuls is dan onzeker.

Een plaats én een impuls tegelijk scherp is dus wiskundig onmogelijk, net zoals een golf niet tegelijk ‘oneindig lang’ en ‘heel kort’ kan zijn. Hetzelfde verschijnsel ken je uit de golfleer: een heel kort geluidspulsje heeft geen duidelijke toonhoogte.

De energie-tijdrelatie: ΔE · Δt ≥ ħ/2

Een vergelijkbare relatie verbindt energie en tijd:

Δt is hier geen meetonzekerheid van een klok, maar de levensduur van een toestand. Hoe korter een toestand bestaat, hoe minder scherp zijn energie vastligt.

Voorbeeld 4 — spectraallijnen zijn niet oneindig smal. Een aangeslagen atoom valt na gemiddeld ongeveer 1 · 10⁻⁸ s terug en zendt een foton uit. De energie van die toestand is daardoor onzeker met ΔE ≥ 1,055 · 10⁻³⁴ / (2 × 10⁻⁸) ≈ 5 · 10⁻²⁷ J ≈ 3 · 10⁻⁸ eV. In frequentie is dat Δf = ΔE / h ≈ 8 MHz. Elke lijn in een spectrum heeft daardoor een minimale breedte, de natuurlijke lijnbreedte.

Om dezelfde reden hebben extreem kortlevende deeltjes uit deeltjesversnellers een merkbaar ‘uitgesmeerde’ massa: hun levensduur is zo kort dat hun energie, en dus hun massa via E = mc², niet scherp vastligt.

Gevolgen in de natuur

• Atomen zijn stabiel. Een elektron dat dichter bij de kern kruipt, krijgt een kleinere Δx en dus een grotere bewegingsenergie. Het evenwicht tussen aantrekking door de kern en deze ‘opsluitenergie’ bepaalt de grootte van atomen.
• Nulpuntsenergie. Zelfs bij het absolute nulpunt kunnen deeltjes niet volledig stilliggen, want dan zouden plaats en impuls allebei exact bekend zijn. Door die nulpuntsbeweging blijft helium bij gewone druk vloeibaar tot het absolute nulpunt.
• Tunneleffect. Een deeltje kan door een energiebarrière heen komen die het klassiek niet kan overwinnen. Zo ontsnappen alfadeeltjes uit kernen bij radioactief verval, en zo werken de tunnelmicroscoop en flashgeheugen.
• Witte dwergen en neutronensterren. Samengeperste elektronen of neutronen verzetten zich tegen verdere compressie door hun grote impulsonzekerheid; die ‘ontaardingsdruk’ houdt dode sterren overeind (zie levensloop van een ster).

Misverstanden: het is geen meetfout

“Het komt doordat meten het deeltje verstoort.” Heisenberg legde het zelf eerst zo uit met zijn gedachte-experiment van de gammastralingsmicroscoop: om een elektron te zien moet je er een foton op laten botsen, en dat geeft het elektron een duw. Dat effect bestaat, maar het is niet de kern van het principe. Ook zonder meting heeft een elektron geen exacte plaats en impuls tegelijk; de onzekerheid is een eigenschap van de toestand zelf.

“Met betere apparatuur kom je eronder.” Nee. De ondergrens ħ/2 is fundamenteel en geldt voor elk denkbaar meetinstrument.

“Volgens Heisenberg is alles onzeker.” Ook niet. Eén grootheid afzonderlijk kun je in principe willekeurig nauwkeurig meten. De beperking geldt alleen voor bepaalde paren, en is wiskundig precies vastgelegd.

“Het geldt alleen voor kleine dingen.” Het geldt voor alles, maar voor grote massa’s is de onzekerheid onmeetbaar klein (zie de tennisbal).

Einstein was het er niet mee eens. Albert Einstein vond dat een volledige theorie wél exacte waarden moest geven (“God dobbelt niet”). In zijn beroemde discussies met Niels Bohr bedacht hij gedachte-experimenten om het principe te omzeilen, maar Bohr weerlegde ze. Latere experimenten hebben de kwantummechanica steeds bevestigd.

Uitleg voor kinderen: het onzekerheidsprincipe in gewone taal

Stel je voor dat je een golf in een springtouw maakt. Zwaai je heel regelmatig, dan loopt er een mooie, lange golf door het touw. Je kunt precies zeggen hoe lang elke golf is, maar niet ‘waar de golf is’: hij zit overal in het touw. Geef je het touw één snelle tik, dan loopt er één kort bultje door. Nu weet je precies waar de golf is, maar het heeft geen duidelijke golflengte meer.

Heel kleine deeltjes, zoals elektronen, gedragen zich als zo’n golf. De golflengte vertelt hoe snel het deeltje gaat, het bultje vertelt waar het is. Dus: weet je precies waar het elektron is, dan weet je niet precies hoe snel het gaat. Weet je precies hoe snel het gaat, dan weet je niet waar het is. Dat is geen kwestie van een betere loep of camera: zo is de natuur gewoon gemaakt.

Met muziek werkt het ook. Een hele korte klap op een trommel kun je precies in de tijd plaatsen, maar je hoort geen toon. Een lange fluittoon heeft een duidelijke toonhoogte, maar je kunt niet zeggen op welk moment ‘de’ toon klinkt. Voor grote dingen zoals een voetbal is het effect zo piepklein dat je het nooit merkt.

Veelgestelde vragen

Verder lezen