Atoommodel van Bohr

Het model van Bohr is de brug tussen de klassieke natuurkunde en de kwantumfysica. In de scheikundeles gebruik je het om de elektronenverdeling van een atoom op te schrijven; in de natuurkundeles om uit te rekenen welke kleuren licht een gas uitzendt. Het is achterhaald door de kwantummechanica, maar het idee van vaste energieniveaus is gebleven.

Wat is het atoommodel van Bohr?

De Deense natuurkundige Niels Bohr nam in 1913 het atoommodel van Rutherford als uitgangspunt: vrijwel alle massa en alle positieve lading zitten in een piepkleine kern van protonen (en, zoals later bleek, neutronen), met daaromheen negatief geladen elektronen. Rutherford kon echter niet verklaren waarom die elektronen niet in de kern vallen. Volgens de klassieke elektrodynamica zendt een ronddraaiend geladen deeltje voortdurend straling uit, verliest het energie en spiraalt het binnen ongeveer 10⁻¹¹ seconde naar de kern. Atomen zouden dan niet stabiel zijn.

Bohr loste dat op met een gedurfde aanname: elektronen mogen alleen in bepaalde, ‘toegestane’ banen bewegen, en in die banen stralen ze níet. Hij combineerde dat met het idee van Planck en Einstein dat licht uit energiepakketjes bestaat, fotonen. Het resultaat is een atoom als een miniatuur-zonnestelsel, maar met een kwantumregel erbovenop: de banen liggen op vaste afstanden, als treden van een trap.

De postulaten van Bohr

1. Stationaire banen. Een elektron beweegt alleen in bepaalde cirkelbanen om de kern. Zolang het in zo’n baan blijft, straalt het geen energie uit, hoewel het een versnelde beweging maakt.
2. Gekwantiseerd impulsmoment. De toegestane banen zijn die waarvoor het impulsmoment van het elektron een geheel veelvoud is van h/2π: L = n · h / (2π), met n = 1, 2, 3, … het hoofdkwantumgetal en h de constante van Planck (6,63 · 10⁻³⁴ J·s).
3. Sprongen geven of kosten een foton. Valt een elektron van een hoger niveau E_hoog naar een lager niveau E_laag, dan wordt één foton uitgezonden met energie E_f = E_hoog − E_laag = h · f. Omgekeerd kan een elektron alleen een foton absorberen dat precies zo’n energieverschil heeft.

Uit postulaat 2 volgt dat de straal van de baan groeit met n²: r_n = n² · 0,0529 nm. De kleinste baan van waterstof (n = 1, de Bohr-straal) is 0,0529 nm; baan 2 is vier keer zo groot, baan 3 negen keer. Later liet De Broglie zien waarom juist deze banen zijn toegestaan: precies een geheel aantal elektron-golflengtes past op de omtrek (zie golf-deeltje-dualiteit).

Schillen en elektronenverdeling

In de scheikunde heten de banen van Bohr schillen, aangeduid met letters vanaf de kern: K (n = 1), L (n = 2), M (n = 3), N (n = 4), enzovoort. Elke schil kan maximaal 2n² elektronen bevatten:

Je vult de schillen van binnen naar buiten, omdat de binnenste schil de laagste energie heeft. Er is één afspraak die je moet kennen: de buitenste schil bevat nooit meer dan 8 elektronen. Daarom begint bij kalium (19 elektronen) de N-schil al te vullen terwijl de M-schil pas 8 van de 18 plaatsen bezet heeft. Pas vanaf scandium wordt de M-schil verder aangevuld tot 18. Die regel volgt eigenlijk uit de kwantummechanica (de 4s-orbitaal ligt lager dan de 3d), maar voor de eerste twintig elementen werkt het simpele schillenmodel perfect.

De elektronen in de buitenste schil heten valentie-elektronen. Zij bepalen hoe een element reageert en in welke groep van het periodiek systeem het staat. Edelgassen hebben een volle buitenste schil en reageren daarom nauwelijks; andere atomen streven ernaar die edelgasconfiguratie te bereiken door elektronen af te staan, op te nemen of te delen (zie chemische bindingen).

Voorbeeld: het Bohr-model van fosfor

Fosfor (P) heeft atoomnummer 15: de kern bevat 15 protonen (en bij de gewone isotoop fosfor-31 ook 16 neutronen), en een neutraal atoom heeft dus 15 elektronen. Die verdeel je zo:

1. K-schil: maximaal 2, dus 2 (nog 13 over);
2. L-schil: maximaal 8, dus 8 (nog 5 over);
3. M-schil: de resterende 5.

De elektronenverdeling van fosfor is dus 2, 8, 5. Met 5 valentie-elektronen staat fosfor in groep 15, onder stikstof (2, 5), dat ook 5 valentie-elektronen heeft. Fosfor mist 3 elektronen tot een octet en vormt daarom bijvoorbeeld PH₃ (fosfine), waarin het drie elektronenparen deelt met waterstof. Als ion neemt het 3 elektronen op: het fosfide-ion P³⁻ heeft de verdeling 2, 8, 8, net als argon.

Energieniveaus van waterstof: Eₙ = −13,6 eV / n²

Voor waterstof kon Bohr de energie van elk niveau exact uitrekenen:

De energie is negatief omdat het elektron gebonden is: je moet energie toevoeren om het los te maken. Een vrij elektron in rust heeft per afspraak energie 0. De ionisatie-energie van waterstof is daarom 13,6 eV.

Naarmate n groter wordt, liggen de niveaus steeds dichter op elkaar, en convergeren ze naar 0. Voor andere atomen dan waterstof (en ionen met één elektron, zoals He⁺) werkt deze formule niet: elektronen stoten elkaar af, en dat kan het Bohr-model niet goed beschrijven.

Spectraallijnen: rekenvoorbeeld Hα (656 nm)

Verwarm je waterstofgas of stuur je er een elektrische ontlading door, dan zie je in een spectroscoop geen regenboog maar een paar scherpe gekleurde lijnen: een lijnenspectrum. Elke lijn hoort bij een sprong tussen twee niveaus. Omdat de energie van een foton E_f = h · f = h · c / λ is, volgt de golflengte direct uit het energieverschil.

Rekenvoorbeeld — de rode lijn van waterstof. Een elektron valt van n = 3 naar n = 2.

1. Energieverschil: ΔE = E₃ − E₂ = −1,511 − (−3,400) = 1,889 eV.
2. Omrekenen naar joule: 1,889 × 1,602 · 10⁻¹⁹ = 3,026 · 10⁻¹⁹ J.
3. Golflengte: λ = h · c / ΔE = (6,626 · 10⁻³⁴ × 2,998 · 10⁸) / 3,026 · 10⁻¹⁹ = 6,56 · 10⁻⁷ m = 656 nm.

Dat is rood licht: de beroemde Hα-lijn. Een handige snelkoppeling: λ (in nm) ≈ 1240 / ΔE (in eV). Dezelfde uitkomst volgt uit de formule van Rydberg, die al vóór Bohr uit metingen was afgeleid: 1/λ = R · (1/n_laag² − 1/n_hoog²) met R = 1,097 · 10⁷ m⁻¹. Bohrs triomf was dat hij R kon uitrekenen uit de massa en lading van het elektron en de constante van Planck.

Het omgekeerde proces geeft absorptielijnen: wit licht dat door koel waterstofgas gaat, mist precies deze golflengtes. Zo ontdekken astronomen welke elementen in sterren zitten. Ook vlamkleuren (natrium kleurt een vlam geel, met lijnen rond 589 nm) zijn sprongen tussen vaste energieniveaus, al kun je die niet met de eenvoudige formule van waterstof uitrekenen. Meer over het verband tussen energie, frequentie en golflengte lees je bij elektromagnetische straling.

Geschiedenis van de atoommodellen

Het model van Bohr is één stap in een reeks. Elk model verklaarde een nieuw experiment dat het vorige niet kon verklaren.

In 1932 ontdekte Chadwick bovendien het neutron, waarmee de opbouw van de kern compleet werd. Bohr kreeg in 1922 de Nobelprijs voor natuurkunde voor zijn werk aan de structuur van atomen. Een uitgebreider overzicht vanuit de scheikunde vind je bij atoomstructuur.

Beperkingen van het model

• Alleen waterstof klopt. Voor atomen met meer dan één elektron geeft de formule verkeerde energieën, omdat de onderlinge afstoting van elektronen ontbreekt.
• Geen verklaring voor de details. Waarom sommige lijnen feller zijn dan andere, waarom lijnen in een magneetveld opsplitsen (het Zeeman-effect) en waarom ze bij nauwkeurig kijken dubbel zijn, kan Bohr niet verklaren.
• Banen bestaan niet. Volgens het onzekerheidsprincipe kun je plaats en snelheid van een elektron niet tegelijk exact kennen, dus een scherpe cirkelbaan is onmogelijk. In de kwantummechanica beschrijft een golffunctie alleen de kans om het elektron ergens aan te treffen.
• Waarom de regels gelden, blijft onverklaard. Bohr legde de kwantisatie op als postulaat; de kwantummechanica leidt haar af.

Toch is het model niet waardeloos. Het hoofdkwantumgetal n en het idee van discrete energieniveaus bestaan nog steeds, de energieën van waterstof kloppen precies, en voor de elektronenverdeling van de eerste twintig elementen is het schillenmodel nog altijd de standaard op school.

Veelgestelde vragen

Verder lezen