Een lens werkt door breking: licht gaat in glas of kunststof langzamer dan in lucht en verandert van richting als het schuin op het gebogen oppervlak valt. Omdat de kromming van een lens van plaats tot plaats verschilt, wordt elke lichtstraal net zo veel afgebogen dat stralen uit één punt van een voorwerp weer in één punt samenkomen: het beeldpunt. Alle beeldpunten samen vormen het beeld.
Bolle en holle lenzen
Er zijn twee hoofdsoorten lenzen. In België spreekt men vaak van convergerende en divergerende lenzen.
| Eigenschap | Bolle lens (positief) | Holle lens (negatief) |
|---|---|---|
| Vorm | in het midden dikker dan aan de rand | in het midden dunner dan aan de rand |
| Werking op evenwijdig licht | convergerend: stralen komen samen in het brandpunt | divergerend: stralen waaieren uit, alsof ze uit een brandpunt vóór de lens komen |
| Brandpuntsafstand f | positief | negatief |
| Soort beeld | reëel of virtueel, afhankelijk van v | altijd virtueel, rechtop en verkleind |
| Voorbeelden | loep, camera, beamer, leesbril, ooglens | bril voor bijziendheid, deurspion |
Belangrijke begrippen: de hoofdas is de symmetrieas door het midden van de lens; het optisch midden is het middelpunt van de lens; een lens heeft aan elke kant een brandpunt F op afstand f. Een reëel beeld ontstaat waar lichtstralen echt samenkomen en kun je opvangen op een scherm. Een virtueel beeld zie je alleen door de lens heen: de stralen lijken er vandaan te komen, maar komen er nooit echt.
Brandpuntsafstand en sterkte (dioptrie)
De brandpuntsafstand f is de afstand van het optisch midden tot het brandpunt. Hoe boller de lens en hoe groter de brekingsindex van het materiaal, hoe sterker het licht wordt afgebogen en hoe kleiner f. Opticiens werken liever met de sterkte S:
- S
- sterkte van de lens, in dioptrie (dpt), dat is m⁻¹
- f
- brandpuntsafstand, in meter (negatief voor een holle lens)
Een lens met f = 0,20 m heeft een sterkte van 1 / 0,20 = +5,0 dpt. Een brillenglas van −2,5 dpt is een holle lens met f = 1 / −2,5 = −0,40 m. Let op: f moet in meter, niet in centimeter. Een handig voordeel van sterktes: dunne lenzen die tegen elkaar liggen, mag je optellen. Een lens van +3 dpt met een lens van −1 dpt erachter werkt samen als één lens van +2 dpt.
Brandpuntsafstand bepalen in de praktijk. Richt een bolle lens op een ver verwijderd voorwerp, zoals een raam aan de overkant van de kamer of de zon (nooit zelf in de zon kijken), en zoek op een vel papier de plek waar het beeld scherp is. Omdat het licht dan vrijwel evenwijdig binnenkomt (v is heel groot, dus 1/v ≈ 0), is de afstand van lens tot papier gelijk aan f.
De lenzenformule
- f
- brandpuntsafstand, in m of cm
- v
- voorwerpsafstand: van voorwerp tot lens
- b
- beeldafstand: van lens tot beeld (negatief bij een virtueel beeld)
- N
- lineaire vergroting (zonder eenheid)
- B, V
- beeldgrootte en voorwerpsgrootte
In de lenzenformule mag je in centimeters rekenen, zolang f, v en b dezelfde eenheid hebben. Alleen voor de sterkte in dioptrie moet f in meter. In BINAS en de meeste Nederlandse methodes staat de formule in deze vorm; in sommige (Vlaamse) handboeken zie je 1/v + 1/b = 1/f of een notatie met voorwerpsafstand a en beeldafstand a’. Het is dezelfde formule.
Voorbeeld 1 — een reëel, vergroot beeld. Een kaars staat op v = 15 cm van een bolle lens met f = 10 cm. Waar ontstaat het beeld en hoe groot is de vergroting?
1/b = 1/f − 1/v = 1/10 − 1/15 = 3/30 − 2/30 = 1/30, dus b = 30 cm.
N = b / v = 30 / 15 = 2. Het beeld staat 30 cm achter de lens, is reëel en omgekeerd, en twee keer zo groot. Een kaarsvlam van 3 cm wordt op het scherm 6 cm.
Voorbeeld 2 — de loep. Je houdt een loep met f = 5,0 cm op v = 4,0 cm van een postzegel.
1/b = 1/5,0 − 1/4,0 = 0,20 − 0,25 = −0,05, dus b = −20 cm.
De min betekent: het beeld staat aan dezelfde kant als het voorwerp en is virtueel. N = |b| / v = 20 / 4,0 = 5. Je ziet een rechtopstaand beeld dat vijf keer zo groot is.
Voorbeeld 3 — brandpuntsafstand berekenen. Bij een practicum vind je een scherp beeld op b = 60 cm als het voorwerp op v = 30 cm staat.
1/f = 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20, dus f = 20 cm en S = 1 / 0,20 m = +5,0 dpt.
Voorbeeld 4 — de beamer. Een beamer met f = 2,5 cm moet een beeld vormen op een scherm op 3,0 m afstand. Waar moet de kleine beeldchip staan? 1/v = 1/2,5 − 1/300 = 0,4000 − 0,0033 = 0,3967, dus v = 2,52 cm. De chip staat net iets verder dan het brandpunt, en N = 300 / 2,52 ≈ 119. Een chip van 1,5 cm breed geeft dus een beeld van ongeveer 1,8 m breed. Verschuif je de beamer naar achteren, dan moet je de lens iets dichter bij de chip zetten: dat is scherpstellen.
Welk beeld bij welke voorwerpsafstand?
Bij een bolle lens hangt het soort beeld alleen af van waar het voorwerp staat ten opzichte van f en 2f. Deze tabel is een klassieker op toetsen:
| Voorwerpsafstand v | Beeldafstand b | Eigenschappen beeld | Toepassing |
|---|---|---|---|
| heel groot (∞) | b = f | reëel, omgekeerd, puntvormig klein | zonlicht bundelen, telescoopobjectief |
| v > 2f | f < b < 2f | reëel, omgekeerd, verkleind | camera, oog |
| v = 2f | b = 2f | reëel, omgekeerd, even groot (N = 1) | kopieerapparaat |
| f < v < 2f | b > 2f | reëel, omgekeerd, vergroot | beamer, diaprojector |
| v = f | geen beeld (oneindig ver) | stralen gaan evenwijdig de lens uit | schijnwerper, zaklamp |
| v < f | negatief | virtueel, rechtop, vergroot | loep |
Een holle lens geeft voor elke voorwerpsafstand een virtueel, rechtopstaand en verkleind beeld. Daarom zie je door een deurspion de hele gang, maar klein.
Beeldconstructie met constructiestralen
Zonder te rekenen vind je het beeld met een tekening. Teken het voorwerp als pijl op de hoofdas en trek vanuit de punt minstens twee van deze drie constructiestralen:
- Evenwijdige straal: loopt evenwijdig aan de hoofdas naar de lens en gaat daarna door het brandpunt aan de andere kant.
- Middelpuntsstraal: gaat door het optisch midden en loopt ongebroken rechtdoor.
- Brandpuntsstraal: gaat door het brandpunt aan de voorwerpskant en loopt na de lens evenwijdig aan de hoofdas.
Het snijpunt van de stralen achter de lens is de punt van het beeld. Snijden de stralen achter de lens niet (bij v < f lopen ze uit elkaar), verleng ze dan met stippellijnen naar achteren: het snijpunt aan de voorwerpskant is het virtuele beeld. Bij een holle lens gaat de evenwijdige straal na de lens verder alsof hij uit het brandpunt aan de voorwerpskant komt.
Stralen anders dan deze drie mag je ook tekenen. Elke straal uit de voorwerpspunt gaat, na de lens, door het beeldpunt. Dat gebruik je bij examenvragen waarin een willekeurige straal moet worden doorgetrokken.
Het oog en de bril
Het oog is een lenzenstelsel met een vaste beeldafstand: de afstand tot het netvlies. Hoornvlies en ooglens samen hebben een sterkte van ongeveer 60 dpt, waarvan het grootste deel door het gebogen hoornvlies komt. Omdat b vast ligt, moet bij een andere voorwerpsafstand f veranderen. Dat doet de kringspier rond de ooglens: bij dichtbij kijken wordt de lens boller en sterker. Dat heet accommoderen. Het dichtstbijzijnde punt dat je nog scherp ziet, is het nabijheidspunt; het verste punt het verpunt.
| Afwijking | Wat er misgaat | Correctie |
|---|---|---|
| Bijziendheid (myopie) | oog te lang of te sterk; beeld van veraf valt vóór het netvlies; verpunt dichtbij | holle lens, negatieve sterkte |
| Verziendheid (hypermetropie) | oog te kort of te zwak; nabijheidspunt ligt ver weg | bolle lens, positieve sterkte |
| Oudziendheid (presbyopie) | ooglens wordt stugger met de leeftijd; accommoderen lukt minder | leesbril (bol) of multifocale bril |
Voorbeeld 5 — brillensterkte. Iemand is bijziend met een verpunt op 50 cm. Een brillenglas moet van een voorwerp in het oneindige een virtueel beeld maken op 50 cm voor het oog. Met v = ∞ en b = −0,50 m geldt 1/f = 0 + 1/(−0,50) = −2,0, dus f = −0,50 m en S = −2,0 dpt (de afstand tussen bril en oog verwaarlozen we). Op een recept staat dat als S of sph −2,00.
Toepassingen: camera, microscoop en telescoop
- Camera: het objectief maakt een reëel, verkleind beeld op de sensor. Scherpstellen betekent de lens verschuiven, omdat b iets groter moet worden als het voorwerp dichterbij komt. Een telelens heeft een grote f en daardoor een grote vergroting.
- Loep: het voorwerp staat binnen f. Een gangbare vuistregel voor de vergroting is 25 cm / f: een loep van 5 cm vergroot ongeveer 5 keer.
- Microscoop: een sterk objectief maakt een vergroot reëel beeld, waar je met het oculair als loep naar kijkt. De vergrotingen vermenigvuldig je: objectief 40× en oculair 10× geven 400×. Antonie van Leeuwenhoek haalde al rond 1675 met één piepklein bolletje glas vergrotingen van ruim 200× en zag als eerste bacteriën en cellen.
- Lenzentelescoop: een objectief met grote f maakt een beeld van een ver object in zijn brandvlak, het oculair vergroot dat. De hoekvergroting is fobjectief / foculair. Galilei richtte in 1609 zo’n kijker op de hemel; Christiaan Huygens sleep zelf lenzen en ontdekte zo de maan Titan en de ring van Saturnus.
Echte lenzen zijn niet perfect. Doordat de brekingsindex per kleur iets verschilt (dispersie, zie spectrum), heeft blauw licht een iets kleinere brandpuntsafstand dan rood. Die kleurfout heet chromatische aberratie en wordt in camera’s opgelost met combinaties van lenzen van verschillende glassoorten.
Veelgestelde vragen
Wat is de lenzenformule?
De lenzenformule is 1/f = 1/v + 1/b, met f de brandpuntsafstand, v de voorwerpsafstand en b de beeldafstand. Bij een virtueel beeld is b negatief, bij een holle lens is f negatief.
Hoe bereken je de brandpuntsafstand?
Meet bij een scherp beeld de voorwerpsafstand v en de beeldafstand b en vul ze in: 1/f = 1/v + 1/b. Met v = 30 cm en b = 60 cm vind je 1/f = 1/20, dus f = 20 cm. Ken je de sterkte, dan geldt f = 1/S in meter.
Wat is de sterkte van een lens in dioptrie?
De sterkte S is 1 gedeeld door de brandpuntsafstand in meter: S = 1/f. Een lens met f = 0,50 m heeft een sterkte van +2 dpt. Holle lenzen hebben een negatieve sterkte, zoals −2,5 dpt voor een bril tegen bijziendheid.
Hoe bereken je de vergroting van een lens?
Met N = b / v, of met N = B / V (beeldgrootte gedeeld door voorwerpsgrootte). Een beeld op 30 cm van een voorwerp op 15 cm is twee keer vergroot.
Wat is het verschil tussen een reëel en een virtueel beeld?
Een reëel beeld ontstaat waar lichtstralen echt samenkomen; je kunt het op een scherm opvangen en het staat bij één lens omgekeerd. Een virtueel beeld zie je alleen door de lens: de stralen lijken er vandaan te komen. Een loep en een holle lens geven een virtueel beeld.
Welke lens heb je nodig bij bijziendheid?
Een holle (negatieve) lens. Die spreidt het licht iets, zodat het beeld van verre voorwerpen niet meer vóór maar op het netvlies valt. Bij verziendheid en oudziendheid gebruik je juist een bolle (positieve) lens.